微积分学示例

$\int x^{2} \sin (π x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (π x)$ 。

$x^{2} (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (π x)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$x^{2} (- \frac{\cos (π x)}{π}) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\cos (π x)}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{π} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{π} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{1}{π} \cdot 2 \int \cos (π x) (x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- 2 \frac{1}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (\frac{- 2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + 1 (\frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (π x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $\sin (π x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (π x)}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $\sin (π x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - (\frac{1}{π} \int \sin (π x) d x))$

解题步骤 8

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u)$

解题步骤 9

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{1}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$ 重写为 $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

要将 $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{π}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) \cdot \frac{π}{π} + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ 和 $\frac{π}{π}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $π$ 和 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{π \cdot 2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 13.2.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 \cdot π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 13.2.6

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

约去公因数。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 13.2.6.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 14

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 \frac{x \sin (π x)}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{x \sin (π x)}{π}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 (x \sin (π x))}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (π x)}{π^{2}}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.2

从 $- x^{2} \cos (π x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.3

从 $\frac{2 x \sin (π x)}{π}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.4

从 $- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.5

从 $\frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.6

从 $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 15.7

将 $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ 重写为 $- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

解题步骤 15.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} - \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

解题步骤 15.11

重新排序项。

$- \frac{1}{π} (x^{2} \cos (π x) - \frac{2}{π} x \sin (π x) - \frac{2}{π^{2}} \cos (π x)) + C$

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