微积分学示例

$\int_{0}^{10} | x - 5 | d x$

解题步骤 1

根据 $x - 5$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{0}^{5} - x + 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{5} - x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x d x + \int_{5}^{10} - 5 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + \int_{5}^{10} - 5 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + - 5 x]_{5}^{10}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10}$ 和 $- 5 x]_{5}^{10}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

解题步骤 10.2.2

计算 $5 x$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ 在 $10$ 处和在 $5$ 处的值。

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.3.2.2

约去公因数。

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.3.2.3

重写表达式。

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{25}{2} - 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (\frac{25}{2} + 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.5

将 $\frac{25}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{25}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{25}{2} + 25 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.7

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{25}{2} + 25 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.8

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{25}{2} + 25 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.9

要将 $25$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.10

组合 $25$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.11

在公分母上合并分子。

$\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.12

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.12.1

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 25 + 50}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.12.2

将 $- 25$ 和 $50$ 相加。

$\frac{25}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.13

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25}{2} + \frac{1}{2} \cdot 100 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $100$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{100}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.15

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.15.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.15.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.15.2.2

约去公因数。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.15.2.3

重写表达式。

$\frac{25}{2} + \frac{50}{1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.15.2.4

用 $50$ 除以 $1$ 。

$\frac{25}{2} + 50 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.16

将 $- 5$ 乘以 $10$ 。

$\frac{25}{2} + 50 - 50 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.17

从 $50$ 中减去 $50$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.18

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.19

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $25$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 5 \cdot 5)$

解题步骤 10.2.4.20

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25)$

解题步骤 10.2.4.21

要将 $- 25$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.2.4.22

组合 $- 25$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2})$

解题步骤 10.2.4.23

在公分母上合并分子。

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 25 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.24

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.24.1

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 50}{2}$

解题步骤 10.2.4.24.2

从 $25$ 中减去 $50$ 。

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{- 25}{2}$

解题步骤 10.2.4.25

将负号移到分数的前面。

$\frac{25}{2} + 0 - - \frac{25}{2}$

解题步骤 10.2.4.26

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{25}{2} + 0 + 1 (\frac{25}{2})$

解题步骤 10.2.4.27

将 $\frac{25}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25}{2} + 0 + \frac{25}{2}$

解题步骤 10.2.4.28

将 $0$ 和 $\frac{25}{2}$ 相加。

$\frac{25}{2} + \frac{25}{2}$

解题步骤 10.2.4.29

在公分母上合并分子。

$\frac{25 + 25}{2}$

解题步骤 10.2.4.30

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$\frac{50}{2}$

解题步骤 10.2.4.31

约去 $50$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.31.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 25}{2}$

解题步骤 10.2.4.31.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.31.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

解题步骤 10.2.4.31.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.4.31.2.3

重写表达式。

$\frac{25}{1}$

解题步骤 10.2.4.31.2.4

用 $25$ 除以 $1$ 。

$25$

解题步骤 11

微积分学 示例

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