微积分学 示例

求出弧长 f(x)=x^2+2x , [0,7]
,
解题步骤 1
检验 是否连续。
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解题步骤 1.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 1.2
上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 2
检验 是否可微。
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解题步骤 2.1
求导数。
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解题步骤 2.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 2.1.1.1
求微分。
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解题步骤 2.1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.1.1.2
计算
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解题步骤 2.1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.1.1.2.3
乘以
解题步骤 2.1.2
的一阶导数是
解题步骤 2.2
判断导数在 上是否连续。
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解题步骤 2.2.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 2.2.2
上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 2.3
该函数在 上可微,因为其导数在 上连续。
该函数可微。
该函数可微。
解题步骤 3
为了确保弧长成立,函数自身及其导数在闭区间 上都必须为连续的。
函数及其导数在闭区间 上连续。
解题步骤 4
的导数。
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解题步骤 4.1
求微分。
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解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.2
计算
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解题步骤 4.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.2.3
乘以
解题步骤 5
要求函数的弧长,请使用公式
解题步骤 6
计算积分。
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解题步骤 6.1
配方。
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解题步骤 6.1.1
使用 的形式求 的值。
解题步骤 6.1.2
思考一下抛物线的顶点形式。
解题步骤 6.1.3
使用公式 的值。
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解题步骤 6.1.3.1
的值代入公式
解题步骤 6.1.3.2
化简右边。
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解题步骤 6.1.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 6.1.3.2.1.1
中分解出因数
解题步骤 6.1.3.2.1.2
约去公因数。
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解题步骤 6.1.3.2.1.2.1
中分解出因数
解题步骤 6.1.3.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 6.1.3.2.2
约去 的公因数。
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解题步骤 6.1.3.2.2.1
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.2.2.2
重写表达式。
解题步骤 6.1.4
使用公式 的值。
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解题步骤 6.1.4.1
的值代入公式
解题步骤 6.1.4.2
化简右边。
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解题步骤 6.1.4.2.1
化简每一项。
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解题步骤 6.1.4.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 6.1.4.2.1.2
乘以
解题步骤 6.1.4.2.1.3
除以
解题步骤 6.1.4.2.1.4
乘以
解题步骤 6.1.4.2.2
中减去
解题步骤 6.1.5
的值代入顶点式
解题步骤 6.2
使 。然后使 。使用 进行重写。
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解题步骤 6.2.1
。求
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解题步骤 6.2.1.1
求导。
解题步骤 6.2.1.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 6.2.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 6.2.1.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 6.2.1.5
相加。
解题步骤 6.2.2
将下限代入替换 中的
解题步骤 6.2.3
相加。
解题步骤 6.2.4
将上限代入替换 中的
解题步骤 6.2.5
相加。
解题步骤 6.2.6
求得的 的值将用来计算定积分。
解题步骤 6.2.7
使用 以及积分的新极限重写该问题。
解题步骤 6.3
使 ,其中 。然后使 。请注意,因为 ,所以 为正数。
解题步骤 6.4
化简项。
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解题步骤 6.4.1
化简
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解题步骤 6.4.1.1
化简每一项。
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解题步骤 6.4.1.1.1
组合
解题步骤 6.4.1.1.2
运用乘积法则。
解题步骤 6.4.1.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 6.4.1.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 6.4.1.1.4.1
约去公因数。
解题步骤 6.4.1.1.4.2
重写表达式。
解题步骤 6.4.1.2
使用勾股恒等式。
解题步骤 6.4.1.3
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 6.4.2
化简。
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解题步骤 6.4.2.1
组合
解题步骤 6.4.2.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 6.4.2.2.1
乘以
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解题步骤 6.4.2.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 6.4.2.2.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 6.4.2.2.2
相加。
解题步骤 6.5
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 6.6
应用归约公式。
解题步骤 6.7
的积分为
解题步骤 6.8
化简。
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解题步骤 6.8.1
组合
解题步骤 6.8.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 6.8.3
组合
解题步骤 6.8.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 6.8.5
移到 的左侧。
解题步骤 6.8.6
乘以
解题步骤 6.8.7
乘以
解题步骤 6.9
代入并化简。
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解题步骤 6.9.1
计算 处和在 处的值。
解题步骤 6.9.2
计算 处和在 处的值。
解题步骤 6.9.3
去掉多余的括号。
解题步骤 6.10
使用对数的商数性质,即
解题步骤 6.11
化简。
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解题步骤 6.11.1
化简分子。
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解题步骤 6.11.1.1
计算
解题步骤 6.11.1.2
计算
解题步骤 6.11.2
乘以
解题步骤 6.11.3
除以
解题步骤 6.11.4
乘以
解题步骤 6.11.5
化简每一项。
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解题步骤 6.11.5.1
化简分子。
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解题步骤 6.11.5.1.1
计算
解题步骤 6.11.5.1.2
计算
解题步骤 6.11.5.2
乘以
解题步骤 6.11.5.3
除以
解题步骤 6.11.6
中减去
解题步骤 6.11.7
乘以
解题步骤 6.11.8
约为 ,因其为正数,所以去掉绝对值
解题步骤 6.11.9
约为 ,因其为正数,所以去掉绝对值
解题步骤 7
结果可以多种形式表示。
恰当形式:
小数形式:
解题步骤 8