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微积分学 示例
,
解题步骤 1
解题步骤 1.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 1.2
在 上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
求导数。
解题步骤 2.1.1
求一阶导数。
解题步骤 2.1.1.1
求微分。
解题步骤 2.1.1.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.1.1.2
计算 。
解题步骤 2.1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.1.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 2.1.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 2.2
判断导数在 上是否连续。
解题步骤 2.2.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 2.2.2
在 上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 2.3
该函数在 上可微,因为其导数在 上连续。
该函数可微。
该函数可微。
解题步骤 3
为了确保弧长成立,函数自身及其导数在闭区间 上都必须为连续的。
函数及其导数在闭区间 上连续。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求微分。
解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.2
计算 。
解题步骤 4.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.2.3
将 乘以 。
解题步骤 5
要求函数的弧长,请使用公式 。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
配方。
解题步骤 6.1.1
使用 的形式求 、 和 的值。
解题步骤 6.1.2
思考一下抛物线的顶点形式。
解题步骤 6.1.3
使用公式 求 的值。
解题步骤 6.1.3.1
将 和 的值代入公式 。
解题步骤 6.1.3.2
化简右边。
解题步骤 6.1.3.2.1
约去 和 的公因数。
解题步骤 6.1.3.2.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.1.3.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.2.1.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.1.3.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 6.1.3.2.2
约去 的公因数。
解题步骤 6.1.3.2.2.1
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.2.2.2
重写表达式。
解题步骤 6.1.4
使用公式 求 的值。
解题步骤 6.1.4.1
将 、 和 的值代入公式 。
解题步骤 6.1.4.2
化简右边。
解题步骤 6.1.4.2.1
化简每一项。
解题步骤 6.1.4.2.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 6.1.4.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 6.1.4.2.1.3
用 除以 。
解题步骤 6.1.4.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 6.1.4.2.2
从 中减去 。
解题步骤 6.1.5
将 、 和 的值代入顶点式 。
解题步骤 6.2
使 。然后使 。使用 和 进行重写。
解题步骤 6.2.1
设 。求 。
解题步骤 6.2.1.1
对 求导。
解题步骤 6.2.1.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 6.2.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 6.2.1.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 6.2.1.5
将 和 相加。
解题步骤 6.2.2
将下限代入替换 中的 。
解题步骤 6.2.3
将 和 相加。
解题步骤 6.2.4
将上限代入替换 中的 。
解题步骤 6.2.5
将 和 相加。
解题步骤 6.2.6
求得的 和 的值将用来计算定积分。
解题步骤 6.2.7
使用 、 以及积分的新极限重写该问题。
解题步骤 6.3
使 ,其中 。然后使 。请注意,因为 ,所以 为正数。
解题步骤 6.4
化简项。
解题步骤 6.4.1
化简 。
解题步骤 6.4.1.1
化简每一项。
解题步骤 6.4.1.1.1
组合 和 。
解题步骤 6.4.1.1.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 6.4.1.1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 6.4.1.1.4
约去 的公因数。
解题步骤 6.4.1.1.4.1
约去公因数。
解题步骤 6.4.1.1.4.2
重写表达式。
解题步骤 6.4.1.2
使用勾股恒等式。
解题步骤 6.4.1.3
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 6.4.2
化简。
解题步骤 6.4.2.1
组合 和 。
解题步骤 6.4.2.2
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 6.4.2.2.1
将 乘以 。
解题步骤 6.4.2.2.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 6.4.2.2.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 6.4.2.2.2
将 和 相加。
解题步骤 6.5
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 6.6
应用归约公式。
解题步骤 6.7
对 的积分为 。
解题步骤 6.8
化简。
解题步骤 6.8.1
组合 和 。
解题步骤 6.8.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 6.8.3
组合 和 。
解题步骤 6.8.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 6.8.5
将 移到 的左侧。
解题步骤 6.8.6
将 乘以 。
解题步骤 6.8.7
将 乘以 。
解题步骤 6.9
代入并化简。
解题步骤 6.9.1
计算 在 处和在 处的值。
解题步骤 6.9.2
计算 在 处和在 处的值。
解题步骤 6.9.3
去掉多余的括号。
解题步骤 6.10
使用对数的商数性质,即 。
解题步骤 6.11
化简。
解题步骤 6.11.1
化简分子。
解题步骤 6.11.1.1
计算 。
解题步骤 6.11.1.2
计算 。
解题步骤 6.11.2
将 乘以 。
解题步骤 6.11.3
用 除以 。
解题步骤 6.11.4
将 乘以 。
解题步骤 6.11.5
化简每一项。
解题步骤 6.11.5.1
化简分子。
解题步骤 6.11.5.1.1
计算 。
解题步骤 6.11.5.1.2
计算 。
解题步骤 6.11.5.2
将 乘以 。
解题步骤 6.11.5.3
用 除以 。
解题步骤 6.11.6
从 中减去 。
解题步骤 6.11.7
将 乘以 。
解题步骤 6.11.8
约为 ,因其为正数,所以去掉绝对值
解题步骤 6.11.9
约为 ,因其为正数,所以去掉绝对值
解题步骤 7
结果可以多种形式表示。
恰当形式:
小数形式:
解题步骤 8