微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x + h}{x + h + 1}$ 。

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x + h}{x + h + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{x}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{x + h}{x + h + 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{x}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + 1)$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

化简。

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解题步骤 4.1.5.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.4.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $h x + h - x h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $h x$ 中减去 $x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.9.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.2

从 $x h$ 中减去 $x h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $\frac{1}{x + 1}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

解题步骤 5.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

解题步骤 5.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

解题步骤 5.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 5.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 5.6

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 7.2

乘以 $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 7.2.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

解题步骤 7.2.3

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 7.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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