微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\sqrt{x + h + 1}$ 。

$\sqrt{x + h + 1}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $\sqrt{x + 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.4

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.1.6

计算 $\sqrt{x + 1}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.3

合并 $\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.3.2

从 $\sqrt{x + 1}$ 中减去 $\sqrt{x + 1}$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + h + 1}$ 重写成 ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (h) = x + h + 1$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h + 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2.3

使用 $x + h + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.3

根据加法法则， $x + h + 1$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.4

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.6

因为 $1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $1$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.12

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.15

将 $\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4

因为 $- \sqrt{x + 1}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \sqrt{x + 1}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + h + 1}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

解题步骤 5.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

解题步骤 6.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

解题步骤 6.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

解题步骤 6.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

解题步骤 6.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

解题步骤 6.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

解题步骤 6.7

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

解题步骤 8.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 8.3.2

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 8.3.3

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

解题步骤 8.3.6

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 8.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 8.3.6.5

化简。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 8.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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