微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 1.1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.1.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.1.2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 1.1.2.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.2.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

解题步骤 1.1.2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \sqrt{x}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$[0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $[0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.6.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $[0, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $[0, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例