微积分学示例

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.1.8

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.1.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 1.1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.13

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.1.13.2

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.13.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

将 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7.2

组合 ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.7.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

解题步骤 1.1.2.7.4

将 $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.2.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.2.8

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 1.1.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.13

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.13.2

组合 $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.13.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \sqrt{4 - x}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{4 - x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 - x \geq 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x \geq - 4$

解题步骤 2.2.2

将 $- x \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- x \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 4$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 4]$

集合符号：

${x | x \leq 4}$

区间计数法：

$(- \infty, 4]$

集合符号：

${x | x \leq 4}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 4]$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 4]$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $4$ 中减去 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 4.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.1

约去公因数。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 4.2.1.4.2

重写表达式。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

解题步骤 4.2.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{32}$ 。

$- \frac{1}{32}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 4]$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 4]$ 上为向下凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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