微积分学 示例

求凹凸性 f(x)=3/(x-5)
解题步骤 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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解题步骤 1.1
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
使用常数相乘法则求微分。
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解题步骤 1.1.1.1.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.1.2
重写为
解题步骤 1.1.1.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.1.2.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.2.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.1.3
求微分。
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解题步骤 1.1.1.3.1
乘以
解题步骤 1.1.1.3.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.3.5
化简表达式。
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解题步骤 1.1.1.3.5.1
相加。
解题步骤 1.1.1.3.5.2
乘以
解题步骤 1.1.1.4
化简。
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解题步骤 1.1.1.4.1
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 1.1.1.4.2
合并项。
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解题步骤 1.1.1.4.2.1
组合
解题步骤 1.1.1.4.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.2
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.2.1
使用常数相乘法则求微分。
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解题步骤 1.1.2.1.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.1.2
应用指数的基本规则。
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解题步骤 1.1.2.1.2.1
重写为
解题步骤 1.1.2.1.2.2
中的指数相乘。
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解题步骤 1.1.2.1.2.2.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.1.2.1.2.2.2
乘以
解题步骤 1.1.2.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.2.2.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.2.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.2.3
求微分。
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解题步骤 1.1.2.3.1
乘以
解题步骤 1.1.2.3.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.3.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.2.3.5
化简表达式。
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解题步骤 1.1.2.3.5.1
相加。
解题步骤 1.1.2.3.5.2
乘以
解题步骤 1.1.2.4
化简。
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解题步骤 1.1.2.4.1
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 1.1.2.4.2
组合
解题步骤 1.1.3
的二阶导数是
解题步骤 1.2
使二阶导数等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将二阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
将分子设为等于零。
解题步骤 1.2.3
因为 ,所以没有解。
无解
无解
无解
解题步骤 2
的定义域。
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解题步骤 2.1
的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 2.2
在等式两边都加上
解题步骤 2.3
定义域为使表达式有定义的所有值
区间计数法:
集合符号:
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 3
在二阶导数为零或无意义的 值附近建立区间。
解题步骤 4
将区间 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.2
化简结果。
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解题步骤 4.2.1
化简分母。
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解题步骤 4.2.1.1
中减去
解题步骤 4.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 4.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 4.2.3
最终答案为
解题步骤 4.3
图像在区间 上向下凹,因为 为负数。
由于 为负,在 上为向下凹
由于 为负,在 上为向下凹
解题步骤 5
将区间 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
化简分母。
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解题步骤 5.2.1.1
中减去
解题步骤 5.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 5.2.2
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.2.2.2
约去公因数。
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解题步骤 5.2.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.2.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.2.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 5.2.3
最终答案为
解题步骤 5.3
图像在区间 上向上凹,因为 为正数。
由于 为正,在 上为向上凹
由于 为正,在 上为向上凹
解题步骤 6
当函数的二阶导数为负数时,其图像向下凹,当其二阶导数为正数时,其图像向上凹。
由于 为负,在 上为向下凹
由于 为正,在 上为向上凹
解题步骤 7