微积分学示例

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x {(x - 2)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ 。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.1.4.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.4.6

将 ${(x - 2)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

解题步骤 1.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

解题步骤 1.1.1.5.3

从 $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.3.1

从 $9 x {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 $3 {(x - 2)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

解题步骤 1.1.1.5.3.2

从 $3 {(x - 2)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(x - 2)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.3.3

从 $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ 中分解出因数 $3 {(x - 2)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.5

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.6.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.6.2

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.6.3

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.7.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.7.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.7.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.8

运用分配律。

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.9

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.9.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.9.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

解题步骤 1.1.1.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.11.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.11.6.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.7

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.8

将 $- 2$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.9

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.1.1.5.11.10

将 $12$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

解题步骤 1.1.1.5.12

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $48 x^{2}$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

解题步骤 1.1.1.5.13

将 $24 x$ 和 $48 x$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 54 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 54$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [72 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72 x$ 对 $x$ 的导数是 $72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.4.3

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

解题步骤 1.1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.5.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $36 x^{2} - 108 x + 72$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 108 x + 72$ 。

$36 x^{2} - 108 x + 72$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $36 x^{2} - 108 x + 72$ 中分解出因数 $36$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 108 x$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ 中分解出因数 $36$ 。

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

解题步骤 4.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 108$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 72$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $72$ 相加。

$f'' (0) = 72$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $72$ 。

$72$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(1, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $2.25$ 。

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 108$ 乘以 $1.5$ 。

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $81$ 中减去 $162$ 。

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 81$ 和 $72$ 相加。

$f'' (1.5) = - 9$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 9$ 。

$- 9$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(1, 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (1.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 2)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 108$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $576$ 中减去 $432$ 。

$f'' (4) = 144 + 72$

解题步骤 6.2.2.2

将 $144$ 和 $72$ 相加。

$f'' (4) = 216$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $216$ 。

$216$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(2, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例