微积分学示例

$f (x) = 2 x^{4} - 12 x^{2}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x^{4} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 12 (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 24 x$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $8 x^{3} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 24 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 24$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $24 x^{2} - 24$ 。

$24 x^{2} - 24$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} - 24 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} - 24 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $24$ 。

$24 x^{2} = 24$

解题步骤 1.2.3

将 $24 x^{2} = 24$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $24 x^{2} = 24$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{24}{24}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $24$ 除以 $24$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = 24 {(- 4)}^{2} - 24$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 24 \cdot 16 - 24$

解题步骤 4.2.1.2

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = 384 - 24$

解题步骤 4.2.2

从 $384$ 中减去 $24$ 。

$f'' (- 4) = 360$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $360$ 。

$360$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 24$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 24$

解题步骤 5.2.2

从 $0$ 中减去 $24$ 。

$f'' (0) = - 24$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 24 {(4)}^{2} - 24$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 24 \cdot 16 - 24$

解题步骤 6.2.1.2

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 384 - 24$

解题步骤 6.2.2

从 $384$ 中减去 $24$ 。

$f'' (4) = 360$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $360$ 。

$360$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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