微积分学示例

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 8 + e^{x}$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

根据加法法则， $8 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

运用分配律。

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.2.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.6.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2.2

合并 $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.6.2.2.1

从 $e^{2 x}$ 中减去 $e^{2 x}$ 。

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2.2.2

将 $8 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = {(8 + e^{x})}^{2}$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

将 ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 8 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 + e^{x}$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3

使用 $8 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

求微分。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.6.2

根据加法法则， $8 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.6.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.9

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.10

从 ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ 中分解出因数 $8 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.10.1

从 ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $8 + e^{x}$ 。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.10.2

从 $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ 中分解出因数 $8 + e^{x}$ 。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.10.3

从 $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ 中分解出因数 $8 + e^{x}$ 。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.2.11.1

从 ${(8 + e^{x})}^{4}$ 中分解出因数 $8 + e^{x}$ 。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.11.2

约去公因数。

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.11.3

重写表达式。

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.12

组合 $8$ 和 $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ 。

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13

化简。

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解题步骤 2.2.13.1

运用分配律。

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.2

运用分配律。

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.13.3.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.2

从 $8 e^{2 x}$ 中减去 $16 e^{2 x}$ 。

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.4.1

从 $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.2.13.4.1.1

从 $64 e^{x}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.1.2

从 $- 8 e^{2 x}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.1.3

从 $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.2

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.3

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.4

从 $8 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.2.13.4.4.1

从 $8 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.4.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.4.3

从 $u \cdot 8 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.5

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ 。

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.3.3

将 $8 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $8 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$8 - e^{x} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $8 - e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- e^{x} = - 8$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $- e^{x} = - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

将 $- e^{x} = - 8$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$e^{x} = 8$

解题步骤 3.3.3.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

解题步骤 3.3.3.2.4

展开左边。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (8)$

解题步骤 3.3.3.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

解题步骤 3.3.3.2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (8)$

解题步骤 3.3.4

最终解为使 $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (8)$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\ln (8)$ 代入 $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\ln (8)$ 替换变量 $x$ 。

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

解题步骤 4.1.2.3

约去 $8$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

通过将 $\ln (8)$ 代入 $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ 中求得的点为 $(\ln (8), \frac{1}{2})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \ln (8))$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.97944154$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

解题步骤 6.2

最终答案为 $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ 。

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

解题步骤 6.3

在 $1.97944154$ 处，二阶导数为 $0.01245842$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, \ln (8))$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \ln (8))$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\ln (8), \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.17944154$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

解题步骤 7.2

最终答案为 $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ 。

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

解题步骤 7.3

在 $2.17944154$ ，二阶导数为 $- 0.01245842$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\ln (8), \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\ln (8), \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\ln (8), \frac{1}{2})$ 。

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例