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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
求一阶导数。
解题步骤 1.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.1.2
计算 。
解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 1.1.3
计算 。
解题步骤 1.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.1.3.3
将 乘以 。
解题步骤 1.1.4
计算 。
解题步骤 1.1.4.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.1.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.1.4.3
将 乘以 。
解题步骤 1.2
求二阶导数。
解题步骤 1.2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.2
计算 。
解题步骤 1.2.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.2.3
将 乘以 。
解题步骤 1.2.3
计算 。
解题步骤 1.2.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.3.3
将 乘以 。
解题步骤 1.2.4
使用常数法则求导。
解题步骤 1.2.4.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 1.2.4.2
将 和 相加。
解题步骤 1.3
对 的二阶导数是 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
将二阶导数设为等于 。
解题步骤 2.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 2.3
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 2.3.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 2.3.2
化简左边。
解题步骤 2.3.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 2.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 2.3.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 2.3.3
化简右边。
解题步骤 2.3.3.1
约去 和 的公因数。
解题步骤 2.3.3.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.3.3.1.2
约去公因数。
解题步骤 2.3.3.1.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.3.3.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 2.3.3.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 2.3.3.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
将 代入 以求 的值。
解题步骤 3.1.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 3.1.2
化简结果。
解题步骤 3.1.2.1
化简每一项。
解题步骤 3.1.2.1.1
使用幂法则 分解指数。
解题步骤 3.1.2.1.1.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.1.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 3.1.2.1.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.5
约去 的公因数。
解题步骤 3.1.2.1.5.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 3.1.2.1.5.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.1.2.1.5.3
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.5.4
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3.1.2.1.7
使用幂法则 分解指数。
解题步骤 3.1.2.1.7.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.7.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.9
将 乘以 。
解题步骤 3.1.2.1.10
一的任意次幂都为一。
解题步骤 3.1.2.1.11
对 进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.12
组合 和 。
解题步骤 3.1.2.1.13
约去 的公因数。
解题步骤 3.1.2.1.13.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 3.1.2.1.13.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.1.2.1.13.3
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.13.4
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.14
将 乘以 。
解题步骤 3.1.2.2
化简项。
解题步骤 3.1.2.2.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.1.2.2.2
将 和 相加。
解题步骤 3.1.2.2.3
约去 和 的公因数。
解题步骤 3.1.2.2.3.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.1.2.2.3.2
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.2.3.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 3.1.2.2.3.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.2.3.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 3.1.2.4
组合 和 。
解题步骤 3.1.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.1.2.6
化简分子。
解题步骤 3.1.2.6.1
将 乘以 。
解题步骤 3.1.2.6.2
将 和 相加。
解题步骤 3.1.2.7
最终答案为 。
解题步骤 3.2
通过将 代入 中求得的点为 。这个点可能是一个拐点。
解题步骤 4
分解 到各点周围的区间中,这些点有可能是拐点。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 5.2
化简结果。
解题步骤 5.2.1
将 乘以 。
解题步骤 5.2.2
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3
最终答案为 。
解题步骤 5.3
在 ,二阶导数为 。因为该值是负数,所以该二阶导数在区间 上递减
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 6
解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 6.2
化简结果。
解题步骤 6.2.1
将 乘以 。
解题步骤 6.2.2
将 和 相加。
解题步骤 6.2.3
最终答案为 。
解题步骤 6.3
在 处,二阶导数为 。由于其值为正,二阶导数在区间 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 7
曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中,拐点为 。
解题步骤 8