微积分学示例

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

解题步骤 1

将 $y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

解题步骤 2.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [32 x]$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

解题步骤 2.2.4.3

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 48 x + 32$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 32$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

解题步骤 3.2

从 $12 x^{2} - 48 x + 32$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 48 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

解题步骤 3.2.4

从 $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

解题步骤 3.2.5

从 $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

解题步骤 3.3

将 $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 12 x + 8$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 12$ 和 $c = 8$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $144$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.3

从 $144$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.7.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.3

从 $144$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.8.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.8.3

化简 $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $3.15470053$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $3.15470053$ 替换变量 $x$ 。

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $3.15470053$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $3.15470053$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $31.39600717$ 。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $3.15470053$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $16$ 乘以 $9.95213548$ 。

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $99.04500074$ 中减去 $251.16805742$ 。

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 152.12305667$ 和 $159.23416778$ 相加。

$f (3.15470053) = 7.11111111$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $7.11111111$ 。

$7.11111111$

解题步骤 4.2

通过将 $3.15470053$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 中求得的点为 $(3.15470053, 7.11111111)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3.15470053, 7.11111111)$

解题步骤 4.3

将 $0.84529946$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $0.84529946$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $0.84529946$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $0.84529946$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $0.60399282$ 。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $0.84529946$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $16$ 乘以 $0.71453117$ 。

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $0.5105548$ 中减去 $4.83194257$ 。

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $- 4.32138776$ 和 $11.43249887$ 相加。

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $7.\overline{1}$ 。

$7.\overline{1}$

解题步骤 4.4

通过将 $0.84529946$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 中求得的点为 $(0.84529946, 7.\overline{1})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0.84529946)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.74529946$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.74529946$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.55547128$ 。

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $0.74529946$ 。

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $6.66565544$ 中减去 $35.77437415$ 。

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 29.1087187$ 和 $32$ 相加。

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2.89128129$ 。

$2.89128129$

解题步骤 6.3

在 $0.74529946$ 处，二阶导数为 $2.89128129$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0.84529946)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0.84529946)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0.84529946, 3.15470053)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $48$ 中减去 $96$ 。

$f'' (2) = - 48 + 32$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 48$ 和 $32$ 相加。

$f'' (2) = - 16$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$- 16$

解题步骤 7.3

在 $2$ ，二阶导数为 $- 16$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0.84529946, 3.15470053)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0.84529946, 3.15470053)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(3.15470053, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.25470053$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3.25470053$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $10.59307559$ 。

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $3.25470053$ 。

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $127.11690713$ 中减去 $156.22562584$ 。

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 29.1087187$ 和 $32$ 相加。

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $2.89128129$ 。

$2.89128129$

解题步骤 8.3

在 $3.25470053$ 处，二阶导数为 $2.89128129$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(3.15470053, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3.15470053, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ 。

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例