微积分学示例

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x {(x - 3)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ 。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.6

将 ${(x - 3)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3

从 $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.3.1

从 $9 x {(x - 3)}^{2}$ 中分解出因数 $3 {(x - 3)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3.2

从 $3 {(x - 3)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(x - 3)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

解题步骤 1.1.5.3.3

从 $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ 中分解出因数 $3 {(x - 3)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

解题步骤 1.1.5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.5

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.5.6.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.6.2

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.6.3

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.7.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.7.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.7.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.8

运用分配律。

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.9

化简。

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解题步骤 1.1.5.9.1

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.9.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

解题步骤 1.1.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.6.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.7

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.8

将 $- 3$ 乘以 $- 18$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.9

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

解题步骤 1.1.5.11.10

将 $27$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

解题步骤 1.1.5.12

从 $- 9 x^{2}$ 中减去 $72 x^{2}$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

解题步骤 1.1.5.13

将 $54 x$ 和 $108 x$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 81 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 81$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [162 x]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $162$ 对于 $x$ 是常数，所以 $162 x$ 对 $x$ 的导数是 $162 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $162$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

解题步骤 1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.5.1

因为 $- 81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 81$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $36 x^{2} - 162 x + 162$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 162 x + 162$ 。

$36 x^{2} - 162 x + 162$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $36 x^{2} - 162 x + 162$ 中分解出因数 $18$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 162 x$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $162$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ 并且它们的和为 $b = - 9$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $- 9$ 重写为 $- 3$ 加 $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 3$ 来因式分解多项式。

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{2}, 3$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

乘以 $3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.5.2

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.2.7.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

解题步骤 3.1.2.7.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

解题步骤 3.1.2.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 3.1.2.9

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

解题步骤 3.1.2.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

解题步骤 3.1.2.11

乘以 $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ 。

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解题步骤 3.1.2.11.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{27}{8}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.1.2.11.2

将 $9$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.1.2.11.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

解题步骤 3.1.2.12

最终答案为 $- \frac{243}{16}$ 。

$- \frac{243}{16}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{3}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 中求得的点为 $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

解题步骤 3.3

将 $3$ 代入 $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (3) = 9 \cdot 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$f (3) = 0$

解题步骤 3.3.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过将 $3$ 代入 $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 中求得的点为 $(3, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3, 0)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $1.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $1.96$ 。

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 162$ 乘以 $1.4$ 。

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $70.56$ 中减去 $226.8$ 。

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 156.24$ 和 $162$ 相加。

$f'' (1.4) = 5.76$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $5.76$ 。

$5.76$

解题步骤 5.3

在 $1.4$ 处，二阶导数为 $5.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(\frac{3}{2}, 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2.25$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2.25$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $5.0625$ 。

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 162$ 乘以 $2.25$ 。

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $182.25$ 中减去 $364.5$ 。

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 182.25$ 和 $162$ 相加。

$f'' (2.25) = - 20.25$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 20.25$ 。

$- 20.25$

解题步骤 6.3

在 $2.25$ ，二阶导数为 $- 20.25$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{3}{2}, 3)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{3}{2}, 3)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 162$ 乘以 $3.1$ 。

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $345.96$ 中减去 $502.2$ 。

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 156.24$ 和 $162$ 相加。

$f'' (3.1) = 5.76$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $5.76$ 。

$5.76$

解题步骤 7.3

在 $3.1$ 处，二阶导数为 $5.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例