微积分学示例

$x - 2 \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 - 2 \cos (x)$ 。

$1 - 2 \cos (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 - 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 2.3

将 $- 2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.7

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 2.7.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.7.2

合并分数。

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解题步骤 2.7.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.7.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 2.7.3

化简分子。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 2.7.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 2.8

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x - 2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{7 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{7 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{7 π}{3}) - 2 \sin (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{7 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{7 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

$\frac{7 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.3.3

重写表达式。

$\frac{7 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{7 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{13 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{13 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{13 π}{3}) - 2 \sin (\frac{13 π}{3})$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{13 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{13 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{13 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.2.3.2

约去公因数。

$\frac{13 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.2.3.3

重写表达式。

$\frac{13 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{13 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

在 $x = \frac{19 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $\frac{19 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{19 π}{3}) - 2 \sin (\frac{19 π}{3})$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{19 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.4.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{19 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{19 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{19 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.4.2.3.3

重写表达式。

$\frac{19 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.4.2.4

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{19 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.5

在 $x = \frac{25 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $\frac{25 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{25 π}{3}) - 2 \sin (\frac{25 π}{3})$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{25 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.5.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{25 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{25 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.5.2.3.2

约去公因数。

$\frac{25 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.5.2.3.3

重写表达式。

$\frac{25 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.5.2.4

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{25 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.6

在 $x = \frac{5 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.6.1

代入 $\frac{5 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{5 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.6.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.6.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{5 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.6.2.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.6.2.3.3

约去公因数。

$\frac{5 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.6.2.3.4

重写表达式。

$\frac{5 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.6.2.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.7

在 $x = \frac{11 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.7.1

代入 $\frac{11 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{11 π}{3}) - 2 \sin (\frac{11 π}{3})$

解题步骤 4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{11 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.7.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.7.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{11 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.7.2.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.7.2.4.3

约去公因数。

$\frac{11 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.7.2.4.4

重写表达式。

$\frac{11 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.7.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{11 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.7.2.6

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{11 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.8

在 $x = \frac{17 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.8.1

代入 $\frac{17 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{17 π}{3}) - 2 \sin (\frac{17 π}{3})$

解题步骤 4.8.2

化简每一项。

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解题步骤 4.8.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{17 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.8.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.8.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.8.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{17 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8.2.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{17 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8.2.4.3

约去公因数。

$\frac{17 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.8.2.4.4

重写表达式。

$\frac{17 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.8.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{17 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.8.2.6

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{17 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.9

在 $x = \frac{23 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.9.1

代入 $\frac{23 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{23 π}{3}) - 2 \sin (\frac{23 π}{3})$

解题步骤 4.9.2

化简每一项。

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解题步骤 4.9.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{23 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.9.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.9.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.9.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{23 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.9.2.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{23 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.9.2.4.3

约去公因数。

$\frac{23 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.9.2.4.4

重写表达式。

$\frac{23 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.9.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{23 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.9.2.6

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{23 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.10

在 $x = \frac{29 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.10.1

代入 $\frac{29 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{29 π}{3}) - 2 \sin (\frac{29 π}{3})$

解题步骤 4.10.2

化简每一项。

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解题步骤 4.10.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{29 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 4.10.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.10.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.10.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{29 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.10.2.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{29 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.10.2.4.3

约去公因数。

$\frac{29 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.10.2.4.4

重写表达式。

$\frac{29 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

解题步骤 4.10.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{29 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

解题步骤 4.10.2.6

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{29 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.11

列出所有的点。

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, \frac{7 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, \frac{13 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, \frac{19 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, \frac{25 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, \frac{11 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, \frac{17 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, \frac{23 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, \frac{29 π}{3} + \sqrt{3})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例