微积分学示例

$\sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\cos (x) + \sin (x)$ 。

$\cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\cos (x) + \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5

分离分数。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.7

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.8

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 + \tan (x) = 0$

解题步骤 2.9

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 2.10

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 2.11

化简右边。

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解题步骤 2.11.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.12

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 2.13

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.13.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 2.13.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.14

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.14.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.14.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.14.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.14.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.15

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.15.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.15.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.15.3

合并分数。

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解题步骤 2.15.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.15.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.15.4

化简分子。

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解题步骤 2.15.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.15.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.15.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.16

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (x) - \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.5

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2

化简项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{7 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 4.2.2.2.3.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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