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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
求一阶导数。
解题步骤 1.1.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.1.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 1.1.1.2
对 的导数为 。
解题步骤 1.1.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 1.1.2
求微分。
解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.1.2.3
化简表达式。
解题步骤 1.1.2.3.1
将 乘以 。
解题步骤 1.1.2.3.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 1.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 2.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 2.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 2.2.2
化简左边。
解题步骤 2.2.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 2.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 2.2.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 2.2.3
化简右边。
解题步骤 2.2.3.1
用 除以 。
解题步骤 2.3
取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 。
解题步骤 2.4
化简右边。
解题步骤 2.4.1
的准确值为 。
解题步骤 2.5
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 2.5.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 2.5.2
化简左边。
解题步骤 2.5.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 2.5.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 2.5.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 2.5.3
化简右边。
解题步骤 2.5.3.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 2.5.3.2
乘以 。
解题步骤 2.5.3.2.1
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.2.2
将 乘以 。
解题步骤 2.6
余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解,从 中减去参考角即可求出第四象限中的解。
解题步骤 2.7
求解 。
解题步骤 2.7.1
化简。
解题步骤 2.7.1.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 2.7.1.2
组合 和 。
解题步骤 2.7.1.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 2.7.1.4
将 乘以 。
解题步骤 2.7.1.5
从 中减去 。
解题步骤 2.7.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 2.7.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 2.7.2.2
化简左边。
解题步骤 2.7.2.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 2.7.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 2.7.2.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 2.7.2.3
化简右边。
解题步骤 2.7.2.3.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 2.7.2.3.2
乘以 。
解题步骤 2.7.2.3.2.1
将 乘以 。
解题步骤 2.7.2.3.2.2
将 乘以 。
解题步骤 2.8
求 的周期。
解题步骤 2.8.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 2.8.2
使用周期公式中的 替换 。
解题步骤 2.8.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 和 之间的距离为 。
解题步骤 2.8.4
约去 的公因数。
解题步骤 2.8.4.1
约去公因数。
解题步骤 2.8.4.2
用 除以 。
解题步骤 2.9
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
解题步骤 2.10
合并答案。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 3
解题步骤 3.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
在 处计算
解题步骤 4.1.1
代入 替换 。
解题步骤 4.1.2
化简。
解题步骤 4.1.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 4.1.2.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.1.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 4.1.2.1.3
重写表达式。
解题步骤 4.1.2.2
的准确值为 。
解题步骤 4.2
在 处计算
解题步骤 4.2.1
代入 替换 。
解题步骤 4.2.2
化简。
解题步骤 4.2.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 4.2.2.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 4.2.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 4.2.2.1.3
重写表达式。
解题步骤 4.2.2.2
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为正弦在第四象限为负。
解题步骤 4.2.2.3
的准确值为 。
解题步骤 4.2.2.4
将 乘以 。
解题步骤 4.3
列出所有的点。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 5