微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.10.1

运用分配律。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2

合并项。

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解题步骤 1.1.10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.10.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.10.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.6

要将 $x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.7

组合 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.9

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.10.2.10

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

解题步骤 2.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.2.4

因为除了 $1$ 和 $3$ 之外， $3$ 没有其他因数。

$3$ 是一个质数

解题步骤 2.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.2.6

$3, 3, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3$

解题步骤 2.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $3$ 乘以变量部分。

$3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4

化简 $4 x^{1}$ 。

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5

约去 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.5.1

将 $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.2

约去公因数。

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.3

重写表达式。

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

乘以 $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 x - 4 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$4 x = 4$

解题步骤 2.4.2

将 $4 x = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $4 x = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 4.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.3.1

约去公因数。

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.1.3.2

重写表达式。

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.1.4

计算指数。

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.4

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.3.1

约去公因数。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.4.3.2

重写表达式。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $- 4$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{8}{3}$ 。

$- \frac{8}{3}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- \frac{8}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.3

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.6

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.8

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.10

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.11

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1.11.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.11.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

解题步骤 7.2.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

解题步骤 7.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

解题步骤 7.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

解题步骤 7.2.1.5

乘以 $4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

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解题步骤 7.2.1.5.1

组合 $4$ 和 $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.5

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.6

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.7

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.5.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.1.5.7.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 1)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.6.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.2.2

最终答案为 $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 8.3

化简。

$0.83994736$

解题步骤 8.4

在 $x = 2$ 处，导数为 $0.83994736$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0), (0, 1)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例