微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 4$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.2.2

将 $- 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5

化简分母。

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解题步骤 1.1.6.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 。

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$8 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $8 x = 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $8 x = 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{8}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 4.2.4

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{24}{25}$ 。

$\frac{24}{25}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $\frac{24}{25}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 2, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

解题步骤 7.2.2.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

解题步骤 7.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{8}{9}$ 。

$\frac{8}{9}$

解题步骤 7.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $\frac{8}{9}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 2, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- \frac{8}{9}$ 。

$- \frac{8}{9}$

解题步骤 8.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- \frac{8}{9}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 9.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $- \frac{24}{25}$ 。

$- \frac{24}{25}$

解题步骤 9.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $- \frac{24}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(2, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(2, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

递减于： $(0, 2), (2, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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