微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 2 x^{- 3}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $2$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

解题步骤 7.2.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (1) = - 2$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 2$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0)$

递减于： $(0, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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