微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} - x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} - x$ 。

$x^{2} - x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x = 0$

解题步骤 2.2

从 $x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, 1$ 。

$0, 1$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 + 1$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 1) = 2$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $2$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

解题步骤 6.2.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 6.2.7

最终答案为 $- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- \frac{1}{4}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 4 - (2)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 4 - 2$

解题步骤 7.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f' (2) = 2$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $2$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0), (1, \infty)$

递减于： $(0, 1)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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