微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 32 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4 x^{3} - 32$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 32$ 。

$4 x^{3} - 32$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 32 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 32 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $32$ 。

$4 x^{3} = 32$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $32$ 。

$4 x^{3} - 32 = 0$

解题步骤 2.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.1

从 $4 x^{3} - 32$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

解题步骤 2.4.1.2

从 $- 32$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.4.1.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 8) = 0$

解题步骤 2.4.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

解题步骤 2.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.4

因数。

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解题步骤 2.4.4.1

化简。

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解题步骤 2.4.4.1.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.4.4.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

解题步骤 2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.7

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $x^{2} + 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3

化简。

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解题步骤 2.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.8

最终解为使 $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $2$ 。

$2$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ 。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 - 32$

解题步骤 5.2.2

从 $4$ 中减去 $32$ 。

$f' (1) = - 28$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 28$ 。

$- 28$

解题步骤 5.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 28$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 2)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f' (3) = 108 - 32$

解题步骤 6.2.2

从 $108$ 中减去 $32$ 。

$f' (3) = 76$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $76$ 。

$76$

解题步骤 6.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $76$ 。由于其值为正，函数在 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(2, \infty)$

递减于： $(- \infty, 2)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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