微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ , $a = 1$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 1$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

解题步骤 3

计算 $f (1)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简 ${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 2 {(1)}^{2}$

解题步骤 3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $1$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$4 {(1)}^{3} + 4 (1)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 + 4 (1)$

解题步骤 4.3.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 (1)$

解题步骤 4.3.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$8$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 3 + 8 (x - 1)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$L (x) = 3 + 8 x + 8 \cdot - 1$

解题步骤 6.1.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$L (x) = 3 + 8 x - 8$

解题步骤 6.2

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$L (x) = 8 x - 5$

解题步骤 7

微积分学 示例

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