微积分学 示例

求出水平正切线 y = square root of 3x+2cos(x)
解题步骤 1
表示成 的函数。
解题步骤 2
求导数。
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解题步骤 2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.3
乘以
解题步骤 2.3
计算
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解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.3.2
的导数为
解题步骤 2.3.3
乘以
解题步骤 2.4
重新排序项。
解题步骤 3
使导数等于 ,然后求解方程
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解题步骤 3.1
从等式两边同时减去
解题步骤 3.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 3.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 3.2.2
化简左边。
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解题步骤 3.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 3.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 3.2.2.1.2
除以
解题步骤 3.2.3
化简右边。
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解题步骤 3.2.3.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 3.3
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的
解题步骤 3.4
化简右边。
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解题步骤 3.4.1
的准确值为
解题步骤 3.5
正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解,可从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 3.6
化简
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解题步骤 3.6.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 3.6.2
合并分数。
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解题步骤 3.6.2.1
组合
解题步骤 3.6.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.6.3
化简分子。
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解题步骤 3.6.3.1
移到 的左侧。
解题步骤 3.6.3.2
中减去
解题步骤 3.7
的周期。
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解题步骤 3.7.1
函数的周期可利用 进行计算。
解题步骤 3.7.2
使用周期公式中的 替换
解题步骤 3.7.3
绝对值就是一个数和零之间的距离。 之间的距离为
解题步骤 3.7.4
除以
解题步骤 3.8
函数的周期为 ,所以函数值在两个方向上每隔 弧度将重复出现。
,对于任意整数
,对于任意整数
解题步骤 4
求在 处的原函数
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解题步骤 4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.2
化简结果。
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解题步骤 4.2.1
化简每一项。
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解题步骤 4.2.1.1
组合
解题步骤 4.2.1.2
的准确值为
解题步骤 4.2.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 4.2.1.3.1
约去公因数。
解题步骤 4.2.1.3.2
重写表达式。
解题步骤 4.2.2
最终答案为
解题步骤 5
求在 处的原函数
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
化简每一项。
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解题步骤 5.2.1.1
组合
解题步骤 5.2.1.2
移到 的左侧。
解题步骤 5.2.1.3
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 5.2.1.4
的准确值为
解题步骤 5.2.1.5
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.1.5.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.2.1.5.2
约去公因数。
解题步骤 5.2.1.5.3
重写表达式。
解题步骤 5.2.2
最终答案为
解题步骤 6
函数 上的水平切线是
解题步骤 7