微积分学示例

$y = x^{3} + 3 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{3} + 3 x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 3 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$3 x^{2} = - 3$

解题步骤 3.2

将 $3 x^{2} = - 3$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $3 x^{2} = - 3$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 4

无法在虚点求切线。在 $x =$ 上的该点在实坐标上不存在。

无法通过根求切线

解题步骤 5

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + 3 x$ .

No horizontal tangent lines

解题步骤 6

微积分学 示例

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