微积分学示例

$y = x^{2} + 3 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{2} + 3 x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 3 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x = - 3$

解题步骤 3.2

将 $2 x = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 x = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = - \frac{3}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{2} + 3 x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.6

乘以 $3 (- \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

解题步骤 4.2.1.6.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

解题步骤 4.2.1.6.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

解题步骤 4.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

解题步骤 4.2.2

要将 $- \frac{9}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

解题步骤 4.2.7

最终答案为 $- \frac{9}{4}$ 。

$- \frac{9}{4}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{2} + 3 x$ 的水平切线为 $y = - \frac{9}{4}$ 。

$y = - \frac{9}{4}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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