微积分学示例

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 6 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $4 x^{3} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 6 x$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 6 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从 $4 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

将 $2 x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x^{2} = 3$

解题步骤 3.4.2.2

将 $2 x^{2} = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $2 x^{2} = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.2.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3.5

最终解为使 $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 4.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 2$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 2$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = 2$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将 ${\sqrt{6}}^{4}$ 重写为 $6^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $36$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.5

对 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.6.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

解题步骤 5.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

解题步骤 5.2.1.8

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

解题步骤 5.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

解题步骤 5.2.1.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

解题步骤 5.2.1.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.1.9

乘以 $- 3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.9.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.9.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

解题步骤 5.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

解题步骤 5.2.2

求公分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

解题步骤 5.2.2.3

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

解题步骤 5.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $- 9$ 和 $8$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 上的水平切线是 $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ 。

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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