微积分学示例

$y = x + \sin (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x + \sin (x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$1 + \cos (x)$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 3.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = π$ 处的原函数 $f (x) = x + \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = (π) + \sin (π)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (π) = π + \sin (0)$

解题步骤 4.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (π) = π + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$f (π) = π$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $π$ 。

$π$

解题步骤 5

求在 $x = π + 2 π$ 处的原函数 $f (x) = x + \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $π + 2 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

解题步骤 5.2.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

解题步骤 5.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

解题步骤 5.2.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

解题步骤 5.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

解题步骤 5.2.2.2

将 $3 π$ 和 $0$ 相加。

$f (π + 2 π) = 3 π$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $3 π$ 。

$3 π$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x + \sin (x)$ 的水平切线为 $y = π, y = 3 π$ 。

$y = π, y = 3 π$

解题步骤 7

微积分学 示例

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