微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

解题步骤 1

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 8 x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

从 $3 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) - 8 x = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x - 8) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 8 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 8 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$3 x = 8$

解题步骤 2.4.2.2

将 $3 x = 8$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.1

将 $3 x = 8$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{3}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $x (3 x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{8}{3}$

解题步骤 3

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{8}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{8}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.4

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

解题步骤 4.2.1.7

乘以 $- 4 (\frac{64}{9})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.7.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{64}{9}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

解题步骤 4.2.1.7.2

将 $- 4$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

解题步骤 4.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

解题步骤 4.2.2

要将 $- \frac{256}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{256}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

将 $- 256$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

解题步骤 4.2.5.2

从 $512$ 中减去 $768$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

解题步骤 4.2.7

最终答案为 $- \frac{256}{27}$ 。

$- \frac{256}{27}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ 上的水平切线是 $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ 。

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例