微积分学示例

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 重写为 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.2

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.6

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.7

合并指数。

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解题步骤 1.3.1.3.7.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.5

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.6

从 $- 4 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.6.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.6.3

从 $4 (- x) + 4 (2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.8

将 $16 x (- x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 。

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解题步骤 1.3.1.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

解题步骤 1.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 1.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 重写为 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3

化简。

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解题步骤 1.4.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.2

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.6

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.7

合并指数。

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解题步骤 1.4.1.3.7.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.5

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.6

从 $- 4 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.4.1.6.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.6.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.6.3

从 $4 (- x) + 4 (2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.8

将 $16 x (- x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 。

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解题步骤 1.4.1.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

解题步骤 1.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 1.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 1.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 重写为 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3

化简。

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解题步骤 1.5.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.2

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.6

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.7

合并指数。

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解题步骤 1.5.1.3.7.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.4.1

运用分配律。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.5

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.6

从 $- 4 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.5.1.6.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.6.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.6.3

从 $4 (- x) + 4 (2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.8

将 $16 x (- x + 2)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 。

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解题步骤 1.5.1.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

解题步骤 1.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 。

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 1.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 1.6

最终答案为两个解的组合。

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.4.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.5

计算 $\frac{d}{d x} [4 y]$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.5.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3.2.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

解题步骤 3.2.7

化简。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ 和 $0$ 相加。

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

解题步骤 3.2.7.2

重新排序项。

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

解题步骤 3.3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

解题步骤 3.5.1.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

解题步骤 3.5.2

从 $2 y y' + 4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

解题步骤 3.5.2.2

从 $4 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

解题步骤 3.5.2.3

从 $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

解题步骤 3.5.3

将 $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ 中的每一项除以 $2 (y + 2)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ 中的每一项都除以 $2 (y + 2)$ 。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.2.2

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 3.5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.2

从 $- 4 x + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.3.3.2.2.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.2.3

从 $4 (- x) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.5

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.5.3.3.2.6.1

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

解题步骤 3.5.3.3.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$4 (x - 1) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

将 $4 (x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $4 (x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1 = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- (1) + 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

解题步骤 5.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 + 2$

解题步骤 5.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = 0$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- (1) + 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

解题步骤 6.2.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 2 - 2$

解题步骤 6.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = - 4$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例