微积分学示例

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

解题步骤 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

解题步骤 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

解题步骤 2.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2.3

求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2.3.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 2.2.6.2

重新排序 $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 的因式。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 (x^{2} - y^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ 。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

解题步骤 2.3.1.2

根据加法法则， $x^{2} - y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

解题步骤 2.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

解题步骤 2.3.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$25 (2 x - 2 y y')$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

运用分配律。

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

解题步骤 2.3.5.2

合并项。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$50 x + 25 (- 2 y y')$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$50 x - 50 y y'$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$- 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.1

化简 $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

重写。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 。

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解题步骤 2.5.1.3.1

运用分配律。

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.3.2

运用分配律。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.3.3

运用分配律。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.7.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.1.4.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $50 y y'$ 。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

解题步骤 2.5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.3.1

从等式两边同时减去 $8 x^{3}$ 。

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

解题步骤 2.5.3.2

从等式两边同时减去 $8 x y^{2}$ 。

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.4

从 $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $8 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $8 y^{3} y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.4.3

从 $50 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.4.4

从 $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.4.5

从 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

解题步骤 2.5.5

将 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 中的每一项除以 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 并化简。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 。

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 2.5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 2.5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.2.3

约去 $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.3.1

约去公因数。

解题步骤 2.5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.5.3.1.1

约去 $50$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.1.1

从 $50 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.1.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.2.1

从 $- 8 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.2.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.4

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.4.1

从 $- 8 x y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.4.2.1

从 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

解题步骤 2.5.5.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

解题步骤 2.5.5.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.5

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.5.1

从 $- 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.3.1.5.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.1.5.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

解题步骤 2.5.5.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

解题步骤 2.5.5.3.2

要将 $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 2.5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 的形式。

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解题步骤 2.5.5.3.3.1

将 $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

解题步骤 2.5.5.3.3.2

重新排序 $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ 的因式。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.5.5.3.6.1

移动 $y$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.7

从 $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.5.5.3.7.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.7.2

从 $25 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.7.3

从 $- 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.7.4

从 $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.7.5

从 $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.8

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.9

将 $25$ 重写为 $- 1 (- 25)$ 。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.10

从 $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.11

从 $- 4 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.12

从 $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.13

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.3.13.1

将 $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ 重写为 $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ 。

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.5.5.3.13.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 2.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

将 $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

解题步骤 3.2.3.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

解题步骤 3.2.3.2.1.2

从等式两边同时减去 $4 y^{2}$ 。

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.2.3.2.2.1

将 $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.1

从 $- 4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3.1.2.4

用 $- y^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

解题步骤 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.4.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{5}{2})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{5}{2}$ 和 $b = y$ 。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.5

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.6

化简项。

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解题步骤 3.2.3.2.4.6.1

组合 $y$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.6.2

在公分母上合并分子。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.7

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.8

要将 $- y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

解题步骤 3.2.3.2.4.9

组合 $- y$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

解题步骤 3.2.3.2.4.10

在公分母上合并分子。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.12

将 $\frac{5 + 2 y}{2}$ 乘以 $\frac{5 - 2 y}{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.13

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.14

将 $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.4.14.1

从 $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.14.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.2.3.2.4.14.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

解题步骤 3.2.3.2.4.15

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

解题步骤 3.2.3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

解题步骤 3.2.3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。