微积分学示例

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

解题步骤 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

解题步骤 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

解题步骤 2.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $y^{3} + x y - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$8 (4 x^{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 x^{3}$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

解题步骤 2.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.2

从 $3 y^{2} y' + x y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.2.2

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.2.3

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.2.4

从 $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.2.5

从 $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

解题步骤 2.5.3

将 $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ 中的每一项除以 $3 y^{2} + x - 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ 中的每一项都除以 $3 y^{2} + x - 1$ 。

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

解题步骤 2.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.3.2.1

约去 $3 y^{2} + x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

解题步骤 2.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

解题步骤 2.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

解题步骤 2.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$32 x^{3} - y = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$32 x^{3} = y$

解题步骤 3.2.2

将 $32 x^{3} = y$ 中的每一项除以 $32$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $32 x^{3} = y$ 中的每一项都除以 $32$ 。

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{y}{32}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{y}{32}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

从 $y$ 中因式分解出完全幂数 $1^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

解题步骤 3.2.4.1.2

从 $32$ 中因式分解出完全幂数 $2^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

解题步骤 3.2.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ 。

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

解题步骤 3.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 3.2.4.4

将 $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

解题步骤 3.2.4.5

合并分数。

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解题步骤 3.2.4.5.1

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.5.1.1

将 $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 3.2.4.5.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.5.1.5.4.1

约去公因数。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5.4.2

重写表达式。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 3.2.4.5.1.5.5

计算指数。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2.4.5.2

合并。

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2.4.5.3

乘。

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解题步骤 3.2.4.5.3.1

将 $\sqrt[3]{y}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2.4.5.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.6.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.4.6.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6.4

从根式下提出各项。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

解题步骤 3.2.4.6.5

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

解题步骤 3.2.4.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.7.1

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.7.1.1

从 $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

解题步骤 3.2.4.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.7.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2.4.7.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2.4.7.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.2.4.7.2

将 $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

解题步骤 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对 $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1

将 ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.2

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4

将 $16 y^{4}$ 重写为 ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ 。

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解题步骤 4.2.2.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4.3

因式分解出 $y^{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4.4

移动 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4.5

将 $2^{3} y^{3}$ 重写为 ${(2 y)}^{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.4.6

添加圆括号。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.2.5

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

解题步骤 4.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

解题步骤 4.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

解题步骤 4.2.3.3

约去 $2$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1

从 $2 y \sqrt[3]{2 y}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

解题步骤 4.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.3.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.3.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ 。

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

解题步骤 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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