微积分学示例

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

解题步骤 1.1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.5.8

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.5.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.5.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.5.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.1.5.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

解题步骤 1.1.5.14

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

从 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 1.1.6.1.1

从 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 1.1.6.1.2

从 $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

解题步骤 1.1.6.1.3

从 $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

解题步骤 1.1.6.2

将 $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

解题步骤 1.1.6.3

重新排序项。

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ 。

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.4.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.2.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.2.5.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.4

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.5.1

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.5.2

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.5.3

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.6.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.4.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.6.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.6.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

解题步骤 1.1.6.4.6.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

解题步骤 1.1.6.4.6.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1.1.6.5

合并 $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.6.5.1

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1.1.6.5.2

将 $2 x + 2 - 2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1.1.6.6

将 $2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

解题步骤 1.1.6.7

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 - 4 x^{3} + 6 x$ 。

$2 - 4 x^{3} + 6 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 - 4 x^{3} + 6 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

移动 $2$ 。

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 2.2.2.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 3 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

解题步骤 2.2.2.1.5

用 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 2.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 2 x - 1$

解题步骤 2.2.2.1.6

将 $2 x^{3} - 3 x - 1$ 书写为因数的集合。

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.5

将 $2 x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${((- 1) + 1)}^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (- 2 - {(- 1)}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})$

解题步骤 4.1.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1 + 2})$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$0 (- 2 + {(- 1)}^{3})$

解题步骤 4.1.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 (- 2 - 1)$

解题步骤 4.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$0 \cdot - 3$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $- 3$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

${((\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.2

在公分母上合并分子。

${(\frac{1 + \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.2.2

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.2.3

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.3.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.3.3

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $12 + 6 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6) + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4.3

从 $2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.4.4.3

重写表达式。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.1.1

约去公因数。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.5.1.2

重写表达式。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.2.2.5.2

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.2.2.5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.4

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.5.5.1

运用分配律。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.5.2

运用分配律。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.5.3

运用分配律。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.5.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.5.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.6.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.7

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.7.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.7.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.7.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.2.2.5.7.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.7.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)})$

解题步骤 4.2.2.5.7.4.2

约去公因数。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.2.2.5.7.4.3

重写表达式。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 + \sqrt{3})}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.7.1.1

运用分配律。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.7.1.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.7.1.4

从 $0$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{- \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.7.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.2.8

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.2.2.9

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.9.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.2.2.9.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.10

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.10.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.10.2

将 $- \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.2.11

乘以 $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.11.1

将 $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.2.2.12

运用分配律。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.2.2.13

乘以 $3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.13.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.2.2.13.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

解题步骤 4.2.2.13.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 4.2.2.13.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.14.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.14.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.14.1.4.1

约去公因数。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.1.4.2

重写表达式。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1}}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.1.5

计算指数。

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3}{4}$

解题步骤 4.2.2.14.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

${((\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.2

在公分母上合并分子。

${(\frac{1 - \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.6

将 ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2.2

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.2.3

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.3.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.1.5.5

计算指数。

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.3.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4

化简项。

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解题步骤 4.3.2.4.1

约去 $12 - 6 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6) - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.3

从 $2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.4

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 - \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.2

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 4.3.2.4.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.4

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.5.1

运用分配律。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.2

运用分配律。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.5.3

运用分配律。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.4.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.1.5.5

计算指数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.6.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7

约去 $4 - 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.7.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.3

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.4

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.7.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.4.2

约去公因数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.3.2.4.2.7.4.3

重写表达式。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.3.2.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.4.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.4.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 - \sqrt{3})}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.5.1

运用分配律。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5.3

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + 1 \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5.3.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.5.5

将 $0$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 4.3.2.6

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.3.2.7

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.7.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.3.2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.2.8

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.2.8.2

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.3.2.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.3.2.10

乘以 $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.2.10.1

将 $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.11

运用分配律。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.12

乘以 $- 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.12.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.3.2.12.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

解题步骤 4.3.2.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 4.3.2.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.13.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.13.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.13.1.4.1

约去公因数。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.1.4.2

重写表达式。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{1}}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.1.5

计算指数。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4}$

解题步骤 4.3.2.13.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(- 1, 0), (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}), (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例