微积分学示例

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{3} - x$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $0$ 和 $\frac{1}{3}$ 相加。

$\frac{1}{3} - x$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- x + \frac{1}{3}$ 。

$- x + \frac{1}{3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- x + \frac{1}{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- x + \frac{1}{3} = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$- x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3

将 $- x = - \frac{1}{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- x = - \frac{1}{3}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

解题步骤 2.3.3.2

用 $\frac{1}{3}$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{3}$ 替换 $x$ 。

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

乘以 $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

解题步骤 4.1.2.1.5

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.5

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.6

重新排序 $9 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.2.7

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

解题步骤 4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $4$ 乘以 $18$ 。

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $72$ 和 $2$ 相加。

$\frac{74 - 1}{18}$

解题步骤 4.1.2.4.3

从 $74$ 中减去 $1$ 。

$\frac{73}{18}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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