微积分学示例

$f (x) = 3 x {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x {(16 - x)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(16 - x)}^{3})$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ 。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 16 - x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 - x$ 。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $16 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

根据加法法则， $16 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.2

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.9

将 ${(16 - x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3

从 $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.3.1

从 $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3.2

从 $3 {(16 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

解题步骤 1.1.5.3.3

从 $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ 中分解出因数 $3 {(16 - x)}^{2}$ 。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

解题步骤 1.1.5.4

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.5

将 ${(16 - x)}^{2}$ 重写为 $(16 - x) (16 - x)$ 。

$f' (x) = 3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(16 - x) (16 - x)$ 。

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解题步骤 1.1.5.6.1

运用分配律。

$f' (x) = 3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.6.2

运用分配律。

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.6.3

运用分配律。

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.7.1.1

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.7.2

从 $- 16 x$ 中减去 $16 x$ 。

$f' (x) = 3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.8

运用分配律。

$f' (x) = (3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.9

化简。

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解题步骤 1.1.5.9.1

将 $3$ 乘以 $256$ 。

$f' (x) = (768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.9.2

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = (768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

解题步骤 1.1.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ 。

$f' (x) = 768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.11.1

将 $- 4$ 乘以 $768$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.2

将 $768$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.3

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.4.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x^{2}) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.5

将 $- 96$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.6

将 $16$ 乘以 $- 96$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.7

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.8.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.11.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.9

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

解题步骤 1.1.5.11.10

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.12

从 $- 3072 x$ 中减去 $1536 x$ 。

$f' (x) = - 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.13

将 $384 x^{2}$ 和 $48 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = - 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ 。

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 4608 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x) + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $12288$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 432 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $432 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $12 (- 384 x) + 12 (1024)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3})$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2})$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3} + 36 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.2

重新排序项。

$12 (- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

解题步骤 2.2.3.1.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$- 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 + 36 \cdot 16 - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.5

将 $36$ 乘以 $16$ 。

$- 64 + 576 - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.6

将 $- 64$ 和 $576$ 相加。

$512 - 384 \cdot 4 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.7

将 $- 384$ 乘以 $4$ 。

$512 - 1536 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.8

从 $512$ 中减去 $1536$ 。

$- 1024 + 1024$

解题步骤 2.2.3.1.3.9

将 $- 1024$ 和 $1024$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2.3.1.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024}{x - 4}$

解题步骤 2.2.3.1.5

用 $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$36 x^{2}$

$384 x$

$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + 4 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

解题步骤 2.2.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $32 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

解题步骤 2.2.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					+	$32 x^{2}$	-	$128 x$

解题步骤 2.2.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $32 x^{2} - 128 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$

解题步骤 2.2.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$

解题步骤 2.2.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 256 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							-	$256 x$	+	$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 256 x + 1024$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$

解题步骤 2.2.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$
										$0$

解题步骤 2.2.3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + 32 x - 256$

解题步骤 2.2.3.1.6

将 $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ 书写为因数的集合。

$12 ((x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256) = 0$

解题步骤 2.2.4

因数。

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解题步骤 2.2.4.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 256 = 256$ 并且它们的和为 $b = 32$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1.1

从 $32 x$ 中分解出因数 $32$ 。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 (x) - 256) = 0$

解题步骤 2.2.4.1.1.2

把 $32$ 重写为 $16$ 加 $16$

$12 (x - 4) (- x^{2} + (16 + 16) x - 256) = 0$

解题步骤 2.2.4.1.1.3

运用分配律。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 16 x + 16 x - 256) = 0$

解题步骤 2.2.4.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.4.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$12 (x - 4) ((- x^{2} + 16 x) + 16 x - 256) = 0$

解题步骤 2.2.4.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$12 (x - 4) (x (- x + 16) - 16 (- x + 16)) = 0$

解题步骤 2.2.4.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 16$ 来因式分解多项式。

$12 (x - 4) ((- x + 16) (x - 16)) = 0$

解题步骤 2.2.4.2

去掉多余的括号。

$12 (x - 4) (- x + 16) (x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.5

合并指数。

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解题步骤 2.2.5.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$12 (x - 4) (- (x) + 16) (x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.5.2

将 $16$ 重写为 $- 1 (- 16)$ 。

$12 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot - 16) (x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.5.3

从 $- (x) - 1 (- 16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$12 (x - 4) (- (x - 16)) (x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.5.4

将 $- (x - 16)$ 重写为 $- 1 (x - 16)$ 。

$12 (x - 4) (- 1 (x - 16)) (x - 16) = 0$

解题步骤 2.2.5.5

去掉圆括号。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 (x - 16) (x - 16)) = 0$

解题步骤 2.2.5.6

对 $x - 16$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

解题步骤 2.2.5.7

对 $x - 16$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

解题步骤 2.2.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{1 + 1}) = 0$

解题步骤 2.2.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.5.10

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

${(x - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.5

将 ${(x - 16)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x - 16)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 16)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $x - 16$ 设为等于 $0$ 。

$x - 16 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$x = 16$

解题步骤 2.6

最终解为使 $- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, 16$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x {(16 - x)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$3 (4) {(16 - (4))}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 {(16 - (4))}^{3}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$12 {(16 - 4)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$12 \cdot 12^{3}$

解题步骤 4.1.2.4

通过指数相加将 $12$ 乘以 $12^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $12$ 乘以 $12^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1.1

对 $12$ 进行 $1$ 次方运算。

$12^{1} \cdot 12^{3}$

解题步骤 4.1.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12^{1 + 3}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$12^{4}$

解题步骤 4.1.2.5

对 $12$ 进行 $4$ 次方运算。

$20736$

解题步骤 4.2

在 $x = 16$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $16$ 替换 $x$ 。

$3 (16) {(16 - (16))}^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 {(16 - (16))}^{3}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$48 {(16 - 16)}^{3}$

解题步骤 4.2.2.3

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$48 \cdot 0^{3}$

解题步骤 4.2.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$48 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2.5

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(4, 20736), (16, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例