微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 10$ 。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [15 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ 。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

解题步骤 2.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

从 $15 u^{2} - 30 u + 15$ 中分解出因数 $15$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $15 u^{2}$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

解题步骤 2.3.1.2

从 $- 30 u$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

解题步骤 2.3.1.3

从 $15$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

解题步骤 2.3.1.4

从 $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

解题步骤 2.3.1.5

从 $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

解题步骤 2.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.3

重写多项式。

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4

将 $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 ${(u - 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

用 $0$ 除以 $15$ 。

${(u - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 2.6

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 2.7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.8.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.8.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.8.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.8.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.8.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

解题步骤 4.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$3 - 10 + 15 (1)$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$3 - 10 + 15$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $3$ 中减去 $10$ 。

$- 7 + 15$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 7$ 和 $15$ 相加。

$8$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 10 - 15$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 3$ 和 $10$ 相加。

$7 - 15$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $7$ 中减去 $15$ 。

$- 8$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(1, 8), (- 1, - 8)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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