微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} + 2 x + 2$ 。

$6 x^{2} + 2 x + 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从 $6 x^{2} + 2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} + x + 1$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 3$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (11)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (11)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.7.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.7.5

从 $i \sqrt{11}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

解题步骤 2.7.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

解题步骤 2.7.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.3

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.5

将 $\sqrt{- 1 (11)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.8.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.8.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.8.5

从 $- i \sqrt{11}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

解题步骤 2.8.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

解题步骤 2.8.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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