微积分学示例

$y = 2 \sqrt{x} - x$

解题步骤 1

将 $2 \sqrt{x}$ 和 $- x$ 重新排序。

$y = - x + 2 \sqrt{x}$

解题步骤 2

求 $y = 2 \sqrt{x} - x$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 3

要求根式端点，请将 $x$ 值 $0$ 代入 $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - (0) + 2 \sqrt{0}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = 0 + 2 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

解题步骤 3.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

根式表达式的端点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 5

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 1)$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - (1) + 2 \sqrt{1}$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 2 \sqrt{1}$

解题步骤 5.1.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 2$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = 1$

解题步骤 5.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 5.2

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = - x + 2 \sqrt{x}$ 。在本例中，该点为 $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - (2) + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2.2

最终答案为 $- 2 + 2 \sqrt{2}$ 。

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(0, 0), (1, 1), (2, 0.83)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.83 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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