微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x - 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 2 \geq 0$

解题步骤 1.2

在不等式两边同时加上 $2$ 。

$x \geq 2$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 1.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 1.4.3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 1.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 1.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 1.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 2, x \neq 3}$

区间计数法：

$[2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 2, x \neq 3}$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x^{2} - 9}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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