微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{4}{x - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ 乘以 $\frac{x - 4}{x - 4}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{4}{x - 4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ 的因式。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.5

将极限移入根号内。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 - 4 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.2.8.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.1.3.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}$

解题步骤 2.1.3.5

将极限移入根号内。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}$

解题步骤 2.1.3.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.7.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.7.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{(4 - 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.8.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 2)}$

解题步骤 2.1.3.8.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.8.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.3

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.9

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.11

将 $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.13

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.15

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.16

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.16.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.16.2

约去公因数。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.16.3

重写表达式。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.5.17

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

解题步骤 2.3.7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}$

解题步骤 2.3.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.9

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.13

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.14

化简分子。

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解题步骤 2.3.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.15

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.18

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.19

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 2.3.20

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

解题步骤 2.3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

解题步骤 2.3.22

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.23

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.24

将 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25

化简。

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解题步骤 2.3.25.1

运用分配律。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2

合并项。

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解题步骤 2.3.25.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.25.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.25.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.3.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.5

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.3.25.2.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.6.2

约去公因数。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.6.3

重写表达式。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.8

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.9

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.2.12

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

解题步骤 2.3.25.3

重新排序项。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5

合并项。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.3

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.6

要将 $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.7

要将 $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 \sqrt{x}$ 的形式。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.8.2

将 $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{x} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.8.3

重新排序 $\sqrt{x} \cdot 2$ 的因式。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 2.5.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简极限自变量。

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解题步骤 3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2

合并因数。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

解题步骤 3.1.3

约去 $\sqrt{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

约去公因数。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

解题步骤 3.1.3.2

重写表达式。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) \cdot (2)}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 3.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.1.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.3.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{(lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{(3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.5

将极限移入根号内。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.7

将极限移入根号内。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 4.1.3.8

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.9

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.3.9.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.9.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10

化简答案。

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解题步骤 4.1.3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.10.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.10.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \frac{0}{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{0}{(6 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$2 \frac{0}{(6 - 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.3.10.1.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$2 \frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 4.1.3.10.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.3.10.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.3.11

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.5

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.5.2

合并项。

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解题步骤 4.3.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.5.2.2

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

解题步骤 4.3.6

根据加法法则， $(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 4.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.5

根据加法法则， $3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.11

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.12

化简分子。

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解题步骤 4.3.7.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.13

将负号移到分数的前面。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.16

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.17

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.18

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.19

化简分子。

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解题步骤 4.3.7.19.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.19.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.20

将负号移到分数的前面。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.21

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.22

组合 $3$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.23

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.24

将 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.25

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.26

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.27

约去公因数。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.28

重写表达式。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.29

要将 $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.30

组合 $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.31

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.32

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.33

约去公因数。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.7.34

重写表达式。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 4.3.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9

化简。

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解题步骤 4.3.9.1

运用分配律。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2

合并项。

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解题步骤 4.3.9.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.2

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.3

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.4

约去公因数。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.5

用 $3$ 除以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.6

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.7

将负号移到分数的前面。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.8

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{6 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.9

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.10

从 $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.11

从 $2 (3) + 2 (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.12

约去公因数。

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解题步骤 4.3.9.2.12.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.12.2

约去公因数。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.12.3

重写表达式。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{1} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.12.4

用 $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 除以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

解题步骤 4.3.9.2.13

将 $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 4.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 4.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 4.5.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (3 - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 4.7

合并项。

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解题步骤 4.7.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 4.7.2

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5.5

将极限移入根号内。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 5.6

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5.7

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5.8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5.9

将极限移入根号内。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5.10

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5.11

将极限移入根号内。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

解题步骤 6

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

解题步骤 6.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$1 \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 2}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.3.5

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 7.4

化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2^{2}}}}$

解题步骤 7.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{2}}$

解题步骤 7.5

组合 $\sqrt{4}$ 和 $\frac{4}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4} \cdot 4}{2}}$

解题步骤 7.6

化简分子。

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解题步骤 7.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot 4}{2}}$

解题步骤 7.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

解题步骤 7.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{8}{2}}$

解题步骤 7.8

用 $8$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

微积分学 示例

微积分学示例