微积分学示例

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

因为 $- 4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $- 4 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x + 2 + 0$

解题步骤 1.6.3

将 $- 4 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x + 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x + 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

因为 $- 4 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.6

合并项。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.6.2

将 $- 4 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x + 2 + 0$

解题步骤 4.1.6.3

将 $- 4 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 4 x + 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x + 2$ 。

$- 4 x + 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x + 2 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 4 x = - 2$

解题步骤 5.3

将 $- 4 x = - 2$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 4 x = - 2$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{- 4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $- 2$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 10

求 $x = \frac{1}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.4.3

约去公因数。

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.4.4

重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.5

将 $- 1 (\frac{1}{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2})$ 。

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.6.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.1.6.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.2.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

解题步骤 10.2.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.6

化简分子。

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解题步骤 10.2.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

解题步骤 10.2.6.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

解题步骤 10.2.7

最终答案为 $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ 。

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ 的局部极值。

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 12

微积分学 示例

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