微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.3.2.1

合并 $x - 3 - x - 1 \cdot 3$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 重写为 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

解题步骤 2.4.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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