微积分学示例

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

解题步骤 1

将 $y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 x^{2} - 8 x - 16$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 8 x - 16$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 8 x - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 16)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 8 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 8$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $3 x^{2} - 8 x - 16$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 8 x - 16$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

解题步骤 6.2

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

把 $- 8$ 重写为 $4$ 加 $- 12$

$3 x^{2} + (4 - 12) x - 16 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16 = 0$

解题步骤 6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} + 4 x) - 12 x - 16 = 0$

解题步骤 6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x + 4) - 4 (3 x + 4) = 0$

解题步骤 6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 4$ 来因式分解多项式。

$(3 x + 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $3 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 4 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 x = - 4$

解题步骤 6.4.2.2

将 $3 x = - 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $3 x = - 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{3}$

解题步骤 6.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(3 x + 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{4}{3}, 4$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - \frac{4}{3}, 4$

解题步骤 9

计算在 $x = - \frac{4}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- \frac{4}{3}) - 8$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 (\frac{- 4}{3}) - 8$

解题步骤 10.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 8$

解题步骤 10.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 8$

解题步骤 10.1.1.4

重写表达式。

$2 \cdot - 4 - 8$

解题步骤 10.1.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 - 8$

解题步骤 10.2

从 $- 8$ 中减去 $8$ 。

$- 16$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{4}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{4}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = - \frac{4}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- \frac{4}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.1.1.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.1.2

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.1.5.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.5.2

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.7

将 $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 4 (\frac{16}{9}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.10

乘以 $- 4 (\frac{16}{9})$ 。

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解题步骤 12.2.1.10.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{16}{9}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.10.2

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.12

乘以 $- 16 (- \frac{4}{3})$ 。

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解题步骤 12.2.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 3$

解题步骤 12.2.1.12.2

组合 $16$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{16 \cdot 4}{3} + 3$

解题步骤 12.2.1.12.3

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 3$

解题步骤 12.2.2

求公分母。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $\frac{64}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{64}{3} + 3$

解题步骤 12.2.2.2

将 $\frac{64}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} + 3$

解题步骤 12.2.2.3

将 $\frac{64}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{9} + 3$

解题步骤 12.2.2.4

将 $\frac{64}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 3$

解题步骤 12.2.2.5

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1}$

解题步骤 12.2.2.6

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 12.2.2.7

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.2.8

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.2.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.2.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 64 \cdot 3 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.4

化简每一项。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $- 64$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 64 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $64$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 12.2.4.3

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 192 + 576 + 81}{27}$

解题步骤 12.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 12.2.5.1

从 $- 64$ 中减去 $192$ 。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 256 + 576 + 81}{27}$

解题步骤 12.2.5.2

将 $- 256$ 和 $576$ 相加。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{320 + 81}{27}$

解题步骤 12.2.5.3

将 $320$ 和 $81$ 相加。

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{401}{27}$

解题步骤 12.2.6

最终答案为 $\frac{401}{27}$ 。

$y = \frac{401}{27}$

解题步骤 13

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (4) - 8$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$24 - 8$

解题步骤 14.2

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$16$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (4) = 64 - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 3$

解题步骤 16.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 64 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4 + 3$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = 64 - 64 - 16 \cdot 4 + 3$

解题步骤 16.2.1.4

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 64 - 64 - 64 + 3$

解题步骤 16.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 16.2.2.1

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$f (4) = 0 - 64 + 3$

解题步骤 16.2.2.2

从 $0$ 中减去 $64$ 。

$f (4) = - 64 + 3$

解题步骤 16.2.2.3

将 $- 64$ 和 $3$ 相加。

$f (4) = - 61$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 61$ 。

$y = - 61$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 3$ 的局部极值。

$(- \frac{4}{3}, \frac{401}{27})$ 是一个局部最大值

$(4, - 61)$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例