微积分学示例

$f (x) = x + \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$1 - \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 5

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 6

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 9.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 9.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 10

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

解题步骤 11

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 13

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 13.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

解题步骤 13.2

将区间 $(- \infty, \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $1 - \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 13.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

解题步骤 13.2.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f' (0) = 1 - 0$

解题步骤 13.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 1 + 0$

解题步骤 13.2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 1$

解题步骤 13.2.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 13.3

将区间 $(\frac{π}{2}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $1 - \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 13.3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

解题步骤 13.3.2

化简结果。

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解题步骤 13.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.2.1.1

计算 $\sin (4)$ 。

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

解题步骤 13.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.75680249$ 。

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

解题步骤 13.3.2.2

将 $1$ 和 $0.75680249$ 相加。

$f' (4) = 1.75680249$

解题步骤 13.3.2.3

最终答案为 $1.75680249$ 。

$1.75680249$

解题步骤 13.4

由于一阶导数在 $x = \frac{π}{2}$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 13.5

对于 $f (x) = x + \cos (x)$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

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