微积分学示例

$f (x) = 1 + 7 \sin (x) - \tan (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 + 7 \sin (x) - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [7 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + 7 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$0 + 7 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$0 + 7 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 和 $7 \cos (x)$ 相加。

$7 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$7 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$7 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.3

一的任意次幂都为一。

$7 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$7 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$7 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$7 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

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