微积分学示例

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $1 - 2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 相加。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ 的因式。

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

解题步骤 1.3.2

将 $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{1 - 2 x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{1 - 2 x^{2}})$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $1 - 2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $1 - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 相加。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8.2

将 $- 4$ 移到 $e^{1 - 2 x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $e^{1 - 2 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}})) - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.11.3

重新排序项。

$f'' (x) = 16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 2.11.4

将 $16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $1 - 2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 相加。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

解题步骤 4.1.2.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

重新排序 $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ 的因式。

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ 。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{1 - 2 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{1 - 2 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{1 - 2 x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

最终解为使 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$16 {(0)}^{2} e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$16 \cdot 0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

化简每一项。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{1 - 2 \cdot 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{1 + 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 e^{1} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

化简。

$0 e - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$0 - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

化简每一项。

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解题步骤 9.1.7.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 4 e^{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.7.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 - 4 e^{1 + 0}$

解题步骤 9.1.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - 4 e^{1}$

解题步骤 9.1.9

化简。

$0 - 4 e$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $4 e$ 。

$- 4 e$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = e^{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = e^{1 + 0}$

解题步骤 11.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = e$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $e$ 。

$y = e$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ 的局部极值。

$(0, e)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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