微积分学示例

$4 x - x^{2}$

解题步骤 1

将 $4 x - x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x - x^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x - x^{2} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x d x + \int - x^{2} d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x d x + \int - x^{2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x^{2} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$4 (\frac{1}{2}) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 4 x - x^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

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