微积分学示例

$g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $g (t)$ 的不定积分求函数 $G (t)$ 。

$G (t) = \int g (t) d t$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$G (t) = \int \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{6 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 4

通过将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (6 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 5

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6

展开 $(6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\int (6 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.7

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.9

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.10

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 6.11

在公分母上合并分子。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

解题步骤 6.12

化简分子。

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解题步骤 6.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

解题步骤 6.12.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 8

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 9

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

解题步骤 11

根据幂法则， $t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 12.2

重新排序项。

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ 的不定积分。

$G (t) =$ $12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

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