微积分学示例

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 x^{4} - 4 x^{5} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{5} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{5} d x$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{5} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

$5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

解题步骤 8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

解题步骤 8.2.2.2

重写表达式。

$1 x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

$1 x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} - 4 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

解题步骤 8.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$x^{5} + \frac{- 4}{6} x^{6} + C$

解题步骤 8.2.5

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{5} + \frac{2 (- 2)}{6} x^{6} + C$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

解题步骤 8.2.5.2.2

约去公因数。

$x^{5} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} x^{6} + C$

解题步骤 8.2.5.2.3

重写表达式。

$x^{5} + \frac{- 2}{3} x^{6} + C$

$x^{5} + \frac{- 2}{3} x^{6} + C$

$x^{5} + \frac{- 2}{3} x^{6} + C$

解题步骤 8.2.6

将负号移到分数的前面。

$x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

$x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

$x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{5}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{5} - \frac{2}{3} x^{6} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$