微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \csc (x) - \frac{1}{x}$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\csc (x) - \frac{1}{x}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ - 0.1 & - 0.01668613 \\ - 0.01 & - 0.00166668 \\ - 0.001 & - 0.00016666 \\ - 0.0001 & - 0.00001666 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\csc (x) - \frac{1}{x}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \frac{1}{x}$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\csc (x) - \frac{1}{x}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \frac{1}{x} \\ 0.1 & 0.01668613 \\ 0.01 & 0.00166668 \\ 0.001 & 0.00016666 \\ 0.0001 & 0.00001666 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\csc (x) - \frac{1}{x}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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